Matrizen: Determinante berechnen – Übungen

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 5 & 7 \end{pmatrix} = 2\cdot7 - 3\cdot5 = 14 - 15 = \underline{\underline{-1}} $$

Lösung:
$$\det(A) = -1$$

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} -1 & 4\\ 2 & -3 \end{pmatrix} = (-1)(-3) - 4\cdot2 = 3 - 8 = \underline{\underline{-5}} $$

Lösung:
$$\det(A) = -5$$

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} 0 & 6\\ -2 & 9 \end{pmatrix} = 0\cdot9 - 6\cdot(-2) = 0 + 12 = \underline{\underline{12}} $$

Lösung:
$$\det(A) = 12$$

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1\\ 3 & -\sqrt{2} \end{pmatrix} = \sqrt{2}\,(-\sqrt{2}) - 1\cdot3 = -2 - 3 = \underline{\underline{-5}} $$

Lösung:
$$\det(A) = -5$$

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} 7 & -4\\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 7\cdot2 - (-4)\cdot5 = 14 + 20 = \underline{\underline{34}} $$

Lösung:
$$\det(A) = 34$$

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} 4 & 8\\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 4\cdot2 - 8\cdot1 = 8 - 8 = \underline{\underline{0}} $$

Lösung:
$$\det(A) = 0$$

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} -3 & 2\\ 7 & 5 \end{pmatrix} = (-3)\cdot5 - 2\cdot7 = -15 - 14 = \underline{\underline{-29}} $$

Lösung:
$$\det(A) = -29$$

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & 3\\ -1 & 4 \end{pmatrix} = \tfrac{1}{2}\cdot4 - 3\cdot(-1) = 2 + 3 = \underline{\underline{5}} $$

Lösung:
$$\det(A) = 5$$

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} 0 & -5\\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 0\cdot0 - (-5)\cdot6 = 0 + 30 = \underline{\underline{30}} $$

Lösung:
$$\det(A) = 30$$

Rechenweg:
$$ \det\begin{pmatrix} -4 & -4\\ -4 & -4 \end{pmatrix} = (-4)(-4) - (-4)(-4) = 16 - 16 = \underline{\underline{0}} $$

Lösung:
$$\det(A) = 0$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 4\\ 5 & 2 & 0 \end{pmatrix} $

$\begin{array}{rcl} & = & (1\cdot(-1)\cdot0) + (2\cdot4\cdot5) + (3\cdot0\cdot2) \\ & & \\ & & -\,(5\cdot(-1)\cdot3) - (2\cdot4\cdot1) - (0\cdot0\cdot2) \\ & & \\ & = & 0 + 40 + 0 - (-15) - 8 - 0 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{47}} \end{array}$

Lösung:
$$\det(A) = 47$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\ 4 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & (2\cdot0\cdot3) + (3\cdot(-2)\cdot1) + (1\cdot4\cdot(-1)) \\ & & \\ & & -\,(1\cdot0\cdot1) - ((-1)\cdot(-2)\cdot2) - (3\cdot4\cdot3) \\ & & \\ & = & 0 - 6 - 4 - 0 - 4 - 36 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-50}} \end{array}$

Lösung:
$$\det(A) = -50$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} -2 & 5 & 1\\ 3 & -1 & 4\\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & (-2\cdot(-1)\cdot(-3)) + (5\cdot4\cdot0) + (1\cdot3\cdot2) \\ & & \\ & & -\,(0\cdot(-1)\cdot1) - (2\cdot4\cdot(-2)) - ((-3)\cdot3\cdot5) \\ & & \\ & = & -6 + 0 + 6 - 0 - (-16) - (-45) \\ & & \\ & = & \underline{\underline{61}} \end{array}$

Lösung:
$$\det(A) = 61$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 5\\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & (1\cdot4\cdot8) + (0\cdot5\cdot6) + (2\cdot3\cdot7) \\ & & \\ & & -\,(6\cdot4\cdot2) - (7\cdot5\cdot1) - (8\cdot3\cdot0) \\ & & \\ & = & 32 + 0 + 42 - 48 - 35 - 0 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-9}} \end{array}$

Lösung:
$$\det(A) = -9$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 5\\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & (2\cdot3\cdot(-2)) + ((-1)\cdot5\cdot4) + (0\cdot0\cdot2) \\ & & \\ & & -\,(4\cdot3\cdot0) - (2\cdot5\cdot2) - ((-2)\cdot0\cdot(-1)) \\ & & \\ & = & -12 - 20 + 0 - 0 - 20 - 0 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-52}} \end{array}$

Lösung:
$$\det(A) = -52$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} 6 & 1 & -3\\ 2 & -4 & 1\\ 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & (6\cdot(-4)\cdot2) + (1\cdot1\cdot0) + ((-3)\cdot2\cdot5) \\ & & \\ & & -\,(0\cdot(-4)\cdot(-3)) - (5\cdot1\cdot6) - (2\cdot2\cdot1) \\ & & \\ & = & -48 + 0 - 30 - 0 - 30 - 4 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-112}} \end{array}$

Lösung:
$$\det(A) = -112$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4\\ -1 & 2 & 1\\ 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & (0\cdot2\cdot(-2)) + (3\cdot1\cdot5) + (4\cdot(-1)\cdot0) \\ & & \\ & & -\,(5\cdot2\cdot4) - (0\cdot1\cdot0) - ((-2)\cdot(-1)\cdot3) \\ & & \\ & = & 0 + 15 + 0 - 40 - 0 - 6 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-31}} \end{array}$

Lösung:
$$\det(A) = -31$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & (1\cdot2\cdot0) + (1\cdot3\cdot2) + (1\cdot1\cdot1) \\ & & \\ & & -\,(2\cdot2\cdot1) - (1\cdot3\cdot1) - (0\cdot1\cdot1) \\ & & \\ & = & 0 + 6 + 1 - 4 - 3 - 0 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{0}} \end{array}$

Lösung:
$$\det(A) = 0$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} 4 & 0 & 1\\ 2 & 5 & 2\\ -3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

$ \begin{array}{rcl} & = & (4\cdot5\cdot4) + (0\cdot2\cdot(-3)) + (1\cdot2\cdot1) \\ & & \\ & & -\,( (-3)\cdot5\cdot1) - (1\cdot2\cdot4) - (4\cdot2\cdot0) \\ & & \\ & = & 80 + 0 + 2 - (-15) - 8 - 0 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{89}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = 89$$

Rechenweg:

$\det\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\ -2 & 0 & 5\\ 1 & -4 & 2 \end{pmatrix}$

$ \begin{array}{rcl} & = & (2\cdot0\cdot2) + (3\cdot5\cdot1) + ((-1)\cdot(-2)\cdot(-4)) \\ & & \\ & &-\,(1\cdot0\cdot(-1)) - ((-4)\cdot5\cdot2) - (2\cdot(-2)\cdot3) \\ & & \\ & = & 0 + 15 - 8 - 0 - (-40) - (-12) \\ & & \\ & = & \underline{\underline{59}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = 59$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Dafür entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die erste Zeile. Da der zweite Eintrag dieser Zeile eine Null ist, entfällt der zweite Summand. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

$\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 3\\ 1 & 2 & 0 & -2\\ -1 & 3 & 2 & 0\\ 2 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232} \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\ 3 & 2 & 0\\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} +\,\color{#0088B5}{(-1)}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\ -1 & 3 & 0\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} -\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & 3 & 2\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232} \cdot (-10) +\,\color{#0088B5}{(-1)}\,\color{#323232}\cdot13 -\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot17 \\ & & \\ & = & -20 - 13 - 51 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-84}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = -84$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Dafür entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die erste Zeile. Da der dritte Eintrag dieser Zeile eine Null ist, entfällt der dritte Summand. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

$\det\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 4 & 1\\ 2 & -1 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & +\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} -\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 4 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix} +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4\\ 2 & -1 & 1\\ -2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & +\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot9 -\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot(-8) -\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot(-24) \\ & & \\ & = & 9 + 24 + 48 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{81}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = 81$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

Für dieses Beispiel entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die dritte Zeile. Dort finden wir zwei Nullen, sodass wir insgesamt nur zwei Summanden und damit auch nur noch die Determinante von zwei $3{\times}3$-Matrizen ausrechnen müssen.

$\det\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3\\ 1 & 0 & -2 & 1\\ 2 & 3 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & -2 & 1\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix} -\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3\\ 1 & -2 & 1\\ -1 & 4 & 0 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot6 -\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot5 \\ & & \\ & = & 12 - 15 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-3}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = -3$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

Für dieses Beispiel entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die erste Spalte. Dort finden wir zwei Nullen, sodass wir insgesamt nur zwei Summanden und damit auch nur noch die Determinante von zwei $3{\times}3$-Matrizen ausrechnen müssen.

$\det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 3\\ 1 & -2 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & +\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ -2 & 0 & 2\\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} +\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3\\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & +\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot(-26) +\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot(-6) \\ & & \\ & = & -78 - 6 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-84}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = -84$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

Für dieses Beispiel entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die erste Zeile.

$\det\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 1 & -2\\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\ 3 & 1 & -2\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} -\,\color{#0088B5}{(-1)}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} +\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 3 & -2\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot(-11) -\,\color{#0088B5}{(-1)}\,\color{#323232}\cdot(-9) +\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot(-1) \\ & & \\ & = & -22 - 9 - 3 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-34}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = -34$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

Für dieses Beispiel entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die dritte Zeile.

$\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 3 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & -\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\ 3 & 0 & 1\\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} +\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & -\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot12 +\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot(-21) \\ & & \\ & = & -12 - 21 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-33}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = -33$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

Für dieses Beispiel entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die erstee Zeile.

$\det\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 0 & 2\\ 2 & 0 & 1 & -1\\ -1 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & -\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 3 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1\\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 0 & -1\\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} -\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\ 2 & 0 & 1\\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & -\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot17 +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot13 -\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot(-23) \\ & & \\ & = & -34 + 26 + 23 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{15}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = 15$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

Für dieses Beispiel entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die erste Zeile.

$\det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 3 & 1\\ 1 & -1 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & +\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\ -1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} -\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} -\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & +\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot20 -\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot(-12) -\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot12 \\ & & \\ & = & 60 + 12 - 24 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{48}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = 48$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

Für dieses Beispiel entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die dritte Zeile. Dort finden wir zwei Nullen, sodass wir insgesamt nur zwei Summanden und damit auch nur noch die Determinante von zwei $3{\times}3$-Matrizen ausrechnen müssen.

$\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & -\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 3 & 0\\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} -\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\ 1 & 2 & 0\\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & -\,\color{#0088B5}{3}\,\color{#323232}\cdot(-3) -\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot7 \\ & & \\ & = & 9 - 14 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{-5}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = -5$$

Rechenweg:
Für die Determinante dieser $4{{\times}}4$-Matrix wenden wir den Laplace'schen Entwicklungssatz an. Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz reduzieren wir die Determinante einer $4{\times} 4$-Matrix auf mehrere Determinanten von $3 {\times} 3$-Matrizen, die sich wie gewohnt mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen lassen.

Für dieses Beispiel entwickeln wir hier in diesem Beispiel über die dritte Spalte. Dort finden wir zwei Nullen, sodass wir insgesamt nur zwei Summanden und damit auch nur noch die Determinante von zwei $3{\times}3$-Matrizen ausrechnen müssen.

$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 3 & 0 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{array}{rcl} & = & +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 3 & 0 & 2\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} -\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \\ & & \\ & = & +\,\color{#0088B5}{2}\,\color{#323232}\cdot(-15) +\,\color{#0088B5}{1}\,\color{#323232}\cdot(-4) \\ & & \\ & = & -30 - 4 \\ & & \\ & = & \underline{\underline{26}} \end{array} $

Lösung:
$$\det(A) = 26$$

Rechenweg:

Wir wissen, dass die Determinante der Matrix mit zwei Spaltenvektoren im zweidimensionalen Raum den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet, welcher durch die beiden Spaltenvektoren aufgespannt wird. Um nur den Flächeninhalt des Dreiecks zu erhalten, können wir die Fläche noch mit $\dfrac{1}{2}$ multiplizieren. Insgesamt ergibt sich:

$$ \begin{array}{rl} A_{\triangle} &=\dfrac{1}{2} \cdot \left\vert \det \begin{pmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{pmatrix} \right\vert \\ & \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left\vert \det \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \right\vert \\ & \\ &= \dfrac{1}{2}\cdot \left\vert ( 5 \cdot (-3) - 2 \cdot 1)\right\vert \\ & \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left\vert (-17)\right\vert \\ & \\ &= \dfrac{17}{2}=\underline{\underline{8{,}5~[\text{FE}]}} \end{array} $$

Antwort:

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ ist $A_{\triangle}= 8{,}5~\text{FE}$. $$

Rechenweg

Das Volumen des Spats lässt sich über die Determinante der Matrix der Kantenvektoren bestimmen:

$$ V_{\text{Spat}}=\left|\det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}\right| $$

Wir berechnen die Determinante mithilfe der Regel von Sarrus:

$$ \begin{array}{rcl} \det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} &=& 3 \cdot (2 \cdot 4 - 1\cdot0) - 1 \cdot (0\cdot4 - 1\cdot1) + 0 \cdot (0\cdot 0 - 2 \cdot 1) \\ && \\ &=& 3\cdot8-1\cdot(-1)+0 \\ && \\ &=&24+1 \\ && \\ &=&\underline{\underline{25~[\text{VE}]}} \end{array} $$

Antwort

Das Volumen des Spates beträgt $V_{\text{Spat}}=25~\text{VE}$.

Rechenweg:

Um eine Aussage über die Lösbarkeit des Gleichungssystems zu machen, können wir uns die Determinante der Koeffizientenmatrix $A$ angucken. Wir wissen, dass wenn die Determinante der Matrix $A \neq 0$ ist, dann ist die Koeffizientenmatrix invertierbar und das zusammenhängende Gleichungssystem eindeutig lösbar. Wir berechnen also die Determinante von $A$:

$$ \begin{array}{rcl} \det(A) &=& \det \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1\\ -6 & 5 & -2\\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix} \\ && \\ &=& 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 5 & -2\\ -1 & 3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det\begin{pmatrix} -6 & -2\\ 4 & 3 \end{pmatrix} +1 \cdot \det\begin{pmatrix} -6 & 5\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ && \\ &=& 3 \cdot (15-2)+ 2 \cdot (-18+8) + 1 \cdot (6-20) \\ && \\ &=& 39-20-14 \\ && \\ &=& \underline{\underline{5}} \end{array} $$

Antwort

Da $\det(A) = 5 \neq 0$ gilt, wissen wir, dass die Matrix invertierbar ist und das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.